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e-kube.com | August 23, 2014

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El postulado del Dr. Sheldon Cooper: Superman salva a Luisa?

Recientemente vi un capítulo de TBBT (The Big Bang Theory) en donde Dr. Sheldon Cooper concluía que Luisa Lane sería cortada en tres pedazos luego de caer desde un helicoptero a una velocidad de 192km/h en los brazos de Superman (su rescatador). Tras escuchar eso me sorprendí: 1.) 192km/h?, 2.) su cuerpo es mutilado en 3 pedazos…iguales?

A raíz de esto decidí corroborar el postulado de Dr. Cooper, mis resultados muestran que 1.) Luisa Lane no desciende a una velocidad de 192km/h y 2.) a la velocidad que viajaba su cuerpo, éste no sería mutilado por los brazos del hombre de acero. Sin embargo, asumiendo que el Dr. Cooper tuviera razón en el hecho de que el cuerpo cae a unos 192km/h, es posible que Luisa Lane sufra algun tipo de desmembramiento (que va desde decapitación por desgarre, hasta la pérdida de una pierna), mas no podemos concluir con certeza de que sufra una mutilación en tercios como la descrita por el Dr. Cooper. Es preciso añadir que probablemente la conclusión del Dr. Cooper no considera al cuerpo humano como un material “viscoelástico.”  No consideraremos en detalle la dinámica del fenómeno porque sería muy complicado; considerar todas las variables requeriría más que un simple lápiz y un papel y desafía el propósito de este artículo el cual es ver lo útil que es la ciencia (ciencias naturales en general) en problemas cotidianos,  si es que podemos alegar que un problema relacionado a la mutilación de Luisa (un personaje ficticio) es de interés alguno para cualquier individuo (asumo que una línea como ésta merece un “lol” verdad? lol).

Para efectos del análisis, tomaremos la descripción del Dr. Cooper para asumir que:

  1. Luisa Lane cae en una posición casi horizontal.
  2. El tiempo de caída corresponde al de la película (Superman 1978), que es de 9 segundos.
  3. Luisa Lane tiene un peso aproximado de 55 kilos.
SupermanSaves

Superman salva a Luisa Lane

 

 

   Velocidad Terminal

La velocidad terminal de un cuerpo es la velocidad máxima (crucero si así lo prefieren) que se alcanza en caída libre cuando se considera la resistencia del viento. Si la resistencia del viento no se considerara, usaríamos una ecuación cinemática para determinar la velocidad, recordemos que la aceleración de la tierra es de 9.8m/s2 y su tiempo de caída es de 9 segundos:

V_{f}=at

donde a es la aceleración causada por la gravedad de la tierra y t es el tiempo (en segundos). La velocidad final de Luisa Lane cuando la resistencia del aire no se considera es de 88.2m/s o 317.5km/h. Esta es la velocidad máxima que Luisa Lane tendría al momento de ser capturada por Superman si no se considera la resistencia. Esta velocidad es mucho mayor a la calculada por el Dr. Cooper en TBBT.

Consideremos la resistencia del aire. De la segunda ley de Netwon tenemos que

\sum F=ma

Dado a que la velocidad terminal del cuerpo se alcanza cuando el cuerpo no sigue acelerando, es decir, cuando la fuerza de gravedad ejercida sobre el cuerpo de Luisa Lane es igual a la resistencia que opone el aire, la ecuación de arriba queda expresada como:

\sum F=mg-\frac{1}{2}AC_{d}V^{2}=0\rightarrow V=\sqrt[]{\frac{2mg}{\rho AC_{d}}}

donde A es el área proyectada por Luisa Lane (el área de toda la parte posterior del cuerpo), Cd es el coeficiente de resistencia del aire, m es la masa de Luisa Lane y V es la velocidad terminal de Luisa Lane. Para una densidad del aire de  p(rho) = 1.2kg/m3, un área de 0.7m^2 y un coeficiente de resistencia de 2.1 (asumimos que Luisa Lane es una caja rectangular cayendo), tenemos una velocidad terminal de 24.72m/s. La duda que nos asalta es si Luisa Lane viaja por suficiente tiempo para alcanzar esta velocidad terminal de 24.72m/s. Sabemos (por el video) que Luisa Lane cae por 9 segundos antes de ser agarrada por Superman. Usando la ecuación de arriba, sabemos que

\sum F=mg-\frac{1}{2}AC_{d}V^{2}\rightarrow m\frac{\partial V}{\partial t}=mg-\frac{1}{2}AC_{d}V^{2}

simplificando tenemos que

\frac{\partial V}{\partial t}-kV^{2}=-9.8\cdots k=\frac{\rho AC_{d}}{m}

resolviendo esa ecuación diferencial obtenemos que

\int \frac{1}{kV^{2}-g}dV=\int 1dt\rightarrow V=-\frac{\sqrt[]{g}\cdot tanh(\sqrt[]{kg}\cdot t)}{\sqrt[]{kg}}

reemplazando valores en V tenemos que pasados los 9 segundos, Luisa Lane ha alcanzado una velocidad de 22.33m/s o aproximadamente unos 79.2km/h. Esto nos indica que a los 9 segundos Luisa Lane ya alcanzó la velocidad terminal y que ésta es de unos 80km/h. La gráfica de abajo muestra como la velocidad terminal incrementa si el área de contacto de Luisa Lane variara. Si el área incrementa (manteniendo el peso), la velocidad terminal se reduce porque hay más área contra la que el aire puede actuar y causar resistencia. Reducir el área resulta en un aumento de la velocidad terminal. Lo anterior se puede apreciar de la ecuación de arriba.

Lois lane velocity

Velocidad de Luisa Lane en función del tiempo para diferentes áreas.

Si Luisa Lane tuviera el mismo peso pero un área de 0.013m2 (esa es el área de más o menos la mitad de la cara frontal de un galaxy S), podría alcanzar los 190km/h (53.3m/s). Imaginense a Luisa Lane con un área de ese tamaño!

Luisa Lane no viaja a 192km/h, sino a unos 80km/h. Sin la ayuda de una figura más aerodinámica (i.e. conica), sería imposible para Luisa Lane alcanzar esa velocidad.

Desaceleración

Ahora bien, Luisa Lane es desacelerada rápidamente por Superman (descripción dada por el Dr. Cooper). Para determinar la aceleración (desaceleración) de Luisa Lane usaremos una ecuación de cinemática,

V^{2}=V_{0}^{2}+2ad

donde Vo es la velocidad inicial del cuerpo, d es la distancia recorrida y a es la desaceleración del cuerpo. Asumiendo que la desaceleración con una velocidad Vo se lleva a cabo en un tiempo t necesario para recorrer una distancia d equivalente al grosor del cuerpo (http://science.org.au/nova) de Luisa Lane (ca. 20cm), reemplazando en la ecuación de arriba tenemos que la aceleración es de 1235.43m/s^2, que es lo mismo que unos 126g (126 veces la aceleración de la tierra). El tiempo necesario para deterner el cuerpo de Luisa Lane esta dado por la ecuación de cinemática siguiente,

V=at

por lo tanto t=0.0179 sec.

 Contusión

Traumas por contusión ocurren cuando una fuerza es aplicada al cuerpo. En este artículo lidiamos con aquellas causadas por objetos planos y no punzocortantes. Los fenómenos físicos que provocan contusiones son: 1. Una fuerza externa es aplicada al cuerpo repentinamente. La velocidad del objeto impactante determina la magnitud del daño (F=ma). 2. La energía transferida al cuerpo es el resultado de la suma de las energías cinéticas del cuerpo impactante y el del impactado. 3. Golpes con objetos pueden causar fracturas, laceración, heridas visibles, desgarramiento por esfuerzos cortantes, presiónes que causan “reventamiento” interno e impactos laterales . La esencia de lo previamente expuesto es: aceleraciones o desaceleraciones grandes causan traumas. La pregunta que surge es, ¿cuánta aceleración o desaceleración podemos resistir? Esto fue respondido entre  la década del 50 y 80. El experimento consistía en acelerar un trineo que llevaba un individuo/dummy. La gráfica de abajo muestra los resultados

Human tolerance

Tolerancia del cuerpo humano a la aceleración basado en la duración del impacto.
Ref. Human Tolerance to Rapidly Applied Acceleration: A Survey of the Literature, A viscous tolerance criterion for soft tissue injury assessment

 

La gráfica de arriba muestra 2 regiones, la region “ilesa” y la de “lesiones severas.” La gráfica también  muestra la importancia de la duración del impacto. Si el impacto desacelera un cuerpo a 50g en unos cuantos milisegundos, no hay daño alguno o lesiones ligeras. Sin embargo si estos 50g tienen una duración de 100ms, es posible que el cuerpo no viva para dar su versión de los hechos. Esta gráfica es de gran utilidad porque a raíz de ella aumentaron las medidas de seguridad vehicular. La tolerancia humana es de 80g-90g si esta aceleración tiene una duración entre 2-1000ms. Aunque otros estudios realizados en el 97 determinan que aceleraciones menores a 20g y aplicadas en una duración menor a 0.1sec es la máxima aceleración que el cuerpo puede resistir (ver documento aqui 04chap02).

Luisa Lane muere, lo bueno es que probablemente no se de cuenta de ello, aunque Superman mancharía su super traje.

Dinámica de las Lesiones

En esta sección cubrimos brevemente ciertos traumas. Un estudio más profundo de este tema o una discusión más especializada requeriría de libros como el de “Mecánica de Lesiones” de Mac-Graw Hill (el primer capítulo esta disponible en internet) o un médico (e.g. un forense). A continuación mostramos ciertas lesiones.

Luisa Lane

Luisa Lane

El mecanismo principal de una lesión abdominal y del pecho es a través de la compresión del cuerpo a causa de un gran estrés (e.g. impactos con objetos contusos, choques vehiculares). Grandes estreses causan deformación y elongamiento de los órganos internos, venas y arterias. Cuando la compresión del torso sobrepasa la tolerancia de la caja toráxica, fracturas pueden ocurrir y los órganos internos y venas pueden lesionarse o romperese.

Ante impactos, la cabeza puede viajar a velocidades o direcciones diferentes a la del cuerpo. Es muy común que las vértebras se vean afectadas. Ante golpes en el esternón o costillas, las vértebras T4 y T5 son las que generalmente se ven afectadas dada a la conectividad de los huesos en la región. Lesiones en estas áreas implican que hubieron impactos de alta energía. Y por supuesto, todo impacto en el pecho puede causar fisuras en las costillas.

Si una arteria es elongada más alla de su tensión de rotura, se rompe (lógico). Los órganos y arterias pueden ser estirados de diferentes maneras, lo que da como resultado diferentes clases de lesiones. El movimiento del corazón durante la compresión del pecho estira la aorta lo que causa laceración transversal. El aumento de la presión vascular dilata las arterias y venas, lo que causa estreses biaxiales que son más fuertes en la dirección transversal que la axial. Por lo tanto si la presión arterial aumenta más alla del límite físico de las arterias, éstas simplemente explotan. Durante impactos severos, la presión puede alcanzar los 1000mmHg y ser soportada por períodos cortos, sin embargo, cuando también hay laceraciones, estos 1000mmHg son letales.

Por supuesto que muchas lesiones internas pueden ocurrir sin la necesidad de que los huesos se fracturen. Esto puede ocurrir cuando el estrés es aplicado muy rápido (impactos a gran velocidad) ya que el tejido humano tiene una naturaleza viscosa y por ello sus respuestas biomecánicas difieren dependiendo de la velocidad en la que el estrés es aplicado. Cuando los órganos son estresados lentamente, esta energía es absorbida gradualmente ( el cuerpo se deforma) y una reacción del tejido en contra del estrés se presenta en la forma de un incremento en la presión interna del tejido. Cuando el cuerpo es estresado rápidamente, el cuerpo absorbe el impacto gracias a sus propiedades viscosas. Sin embargo es posible que la presión interna incremente  y se produzcan daños internos a pesar de que no hay daños externos visibles (e.g. boxeadores).

El abdomen es la parte más vulnerable a lesiones porque hay poca estructura ósea que lo proteja. Golpes a la parte superior del abdomen pueden comprimir y lastimar el hígado y el bazo sin que el cuerpo se mueva considerablemente. En el hígado, la compresión aumenta la presión intrahepática y hemoperitoneo puede resultar de esto (ya había esuchado el término antes, precisamente en el mundo del boxeo y accidentes de tránsito)

 Notas adicionales

De los resultados obtenidos en la sección anterior y usando la gráfica de tolerancia se puede entender que si Luisa Lane desacelera a 126g en 0.02 segundos,  Luisa Lane muere plácidamente en los brazos de su amado Kal-El.

Pero, que tal si Luisa Lane estuviera viajando a 192km/h? A partir de las ecuaciones empleadas, Luisa Lane sufriría una desaceleración de 7102.22ms2 (724.7g). ¿Es esta velocidad la suficiente para que cuando Luisa Lane caiga en los brazos de Superman sea mutilada en tres pedazos iguales como mantequilla sobre cuchillo caliente? Sabemos que la fuerza total de Luisa es su peso por su aceleración, que en este caso es 724g. Esto implica que la fuerza es de unos 390622N, si asumimos que la parte de los brazos de superman que sujeta a Luisa tiene unas dimensiones de 10cm x 30cm, esto nos da un área de 0.03m2. Si dividimos la fuerza que trae Luisa Lane entre el área de un sólo brazo eso nos dá 0.13GPa de presión. Esto es cercano al valor del esfuerzo de flexión del fémur (aprox. 0.2GPa). Aun así no puedo concluir que sería mutilada en tres pedazos y ciertamente por las propiedades viscoelásticas del cuerpo, se me hace imposible decir si serían 3 pedazos, quizás solamente 2 (pienso que sería por desmembramiento de algún miembro) pero 3?, lo siento Dr. Cooper, me costaría creerlo.

Estoy seguro de que hemorragias internas y fracturas múltiples serían las únicas concescuencias de una caída a 80km/h en los brazos de Superman. Lo que si dudo que ocurra es la fragmentación del cuerpo de Luisa en 3 pedazos como el Dr. Cooper postuló

Moraleja

1. Nunca subestimemos las consecuencias de los impactos, Luisa Lane sólo sobrevive en el mundo ficticio.

2. Respetemos las señales de tránsito y los límites de velocidad.

Invito al lector a revisar los números y hacer contribuciones, siéntanse libres de revisar el documento y hacer sus comentarios. Si hay errores los corregiremos (somos humanos). En este documento usamos wolfram alpha y una aplicación para chrome llamada Human. A ambas empresas gracias por prestar sus plataformas para poder escribir este documento. Las referencias no fueron  anexadas como antiguamente hubiera hecho. Por temor a “copyright infringement” no anexo todos los documentos, pero un simple google search bastará para confirmar los valores usados (e.g. coeficiente de resistencia, Cd). Muchísimas gracias.

Autor:  Neeroga |  Jan 17, 2013  |  20:57 |  Categories:  Tecnología, Ciencia visitas (822)

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